●マニアック版「日本シリーズと数学」
2チームに実力差があった場合を考える 2022.6.16
日本シリーズが4勝何敗で決着するか？という問題を考えます。セリーグの代表はドラゴンズ、パリーグの代表はホークスにしておきます。
両チームの勝つ確率が1／2の時は「日本シリーズと数学」で解説しました。
ここでは、勝つ確率が異なる時を考えます。
ドラゴンズの勝つ確率をｐ，Ｈの勝つ確率をｑとします。
0＜ｐ＜1，0＜ｑ＜1です。またｐ＋ｑ＝1です。（つまりｑ＝1－ｐ）
４勝0敗で決着する確率をＭ0
4勝1敗で決着する確率をＭ1
4勝2敗で決着する確率をＭ2
4勝3敗で決着する確率をＭ3
とします。
Ｍ0＝ｐ⁴＋ｑ⁴＝ｐ⁴＋（1－ｐ）⁴
Ｍ1＝4ｐ⁴ｑ＋4ｑ⁴4ｐ＝4{ｐ⁴×(1－ｐ)＋(1－ｐ)⁴×ｐ}
Ｍ2＝10ｐ⁴×（1－ｐ)²＋10ｐ²（1－ｐ)⁴
Ｍ3＝20ｐ³×（1－ｐ)³
これをグラフで示すと次のようになります。
＜Ｍ2(4勝2敗)とＭ3(4勝3敗)の大小について＞
Ｍ2のグラフとＭ3のグラフを比べてみると
ｐ＝1／2の時 Ｍ2＝Ｍ3 それ以外の時 Ｍ2＞Ｍ3
が成り立ちます。
実際のデータではＭ2＞Ｍ3でした。
ということは「両チームの実力差があり勝つ確率が1／2ではなかった」のかもしれません。
M0は、p=0.5の時に、最小となります。pが0.5から離れると、値が、増えて行きます。そして、p=0または、p=1の時はM0=1になります。(pが、0.5から離れるということは、実力の差があるということです。離れる度合いが、大きければ、4勝0敗で、決着する確率は大きくなります。)
M1は、少し複雑です。p=0.5で、極小値を、取ります。
また、p=0.22とp=0.78で、極大値を、取ります。最大値でもあります。pが、この2つの値から、離れると、減少して行きます。実力差が、大きくなるにつれて、4勝1敗よりも、4勝0敗が、起こりやすくなります。